Dos soluciones reales distintas
Para x² - 5x + 6 = 0, introduce a = 1, b = -5 y c = 6. El discriminante es 25 - 24 = 1.
Las soluciones son x = 2 y x = 3.
Matemáticas
Calculadora de ecuaciones de segundo grado
Resuelve ecuaciones de la forma ax² + bx + c = 0. Introduce los coeficientes y consulta el discriminante, las soluciones reales o complejas y los pasos del cálculo.
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Resolver una ecuación de segundo grado
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Cómo utilizar la calculadora de ecuaciones de segundo grado
Escribe la ecuación en la forma ax² + bx + c = 0 e introduce los tres coeficientes, incluidos sus signos. Pulsa «Resolver ecuación» para consultar el discriminante, las soluciones y los pasos. Pulsa «Limpiar» para restablecer el formulario y ocultar los resultados.
Para x² - 5x + 6 = 0, los coeficientes son a = 1, b = -5 y c = 6. El coeficiente de x² es 1 aunque no aparezca escrito. Si falta el término con x, introduce b = 0; si falta el término independiente, introduce c = 0. No dejes esos campos vacíos.
Puedes utilizar enteros y decimales con coma o punto, sin separadores de miles. Los campos admiten coeficientes numéricos, no expresiones como 1/2 ni una ecuación completa.
Cómo pasar todos los términos al mismo lado
Antes de identificar los coeficientes, iguala la expresión a cero y agrupa los términos semejantes. Por ejemplo, x² + 3x = 4 se escribe como x² + 3x - 4 = 0. En este caso, a = 1, b = 3 y c = -4. Sus soluciones son x = 1 y x = -4.
Fórmula general de la ecuación cuadrática
Cuando a es distinto de cero, las raíces se obtienen mediante la fórmula general. El signo ± representa dos posibilidades: sumar o restar la raíz del discriminante.
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)
Para x² - 5x + 6 = 0, el discriminante es (-5)² - 4 × 1 × 6 = 1. Al sustituir en la fórmula, x = (5 ± 1) / 2, de donde se obtienen 3 y 2. El orden en el que se muestran las raíces no cambia el conjunto de soluciones.
El discriminante y el número de soluciones reales
Δ = b² - 4ac
- Δ > 0: dos soluciones reales distintas.
- Δ = 0: una solución real doble, x = -b / (2a).
- Δ < 0: ninguna solución real y dos soluciones complejas conjugadas.
Esta clasificación corresponde a coeficientes reales y a distinto de cero. Si a = 0, se analiza la ecuación lineal o constante resultante.
Soluciones complejas cuando el discriminante es negativo
La unidad imaginaria i cumple i² = -1. Para un discriminante negativo, las raíces tienen la misma parte real y partes imaginarias opuestas. Una forma de escribirlas es:
x = -b / (2a) ± (√(-Δ) / (2|a|)) i
Por ejemplo, x² + 2x + 5 = 0 tiene Δ = -16. La parte real es -1 y la magnitud de la parte imaginaria es 2. Sus raíces son -1 + 2i y -1 - 2i.
Ecuaciones de segundo grado incompletas
Una ecuación sigue siendo de segundo grado cuando falta el término con x o el término independiente, siempre que a no sea cero. Los términos ausentes se introducen como coeficientes cero.
- b = 0: por ejemplo, 2x² - 8 = 0 tiene raíces -2 y 2.
- c = 0: ax² + bx = x(ax + b) = 0 tiene raíces 0 y -b/a.
- b = c = 0: ax² = 0 tiene la raíz doble x = 0.
Qué ocurre cuando a es cero
La fórmula cuadrática no puede utilizarse con a = 0 porque su denominador sería cero. La calculadora distingue los siguientes casos:
- b distinto de cero: la ecuación es lineal, bx + c = 0, y x = -c/b.
- b = 0 y c distinto de cero: la igualdad es imposible y no hay soluciones.
- b = c = 0: queda 0 = 0 y cualquier valor de x es solución.
Precisión e interpretación de las raíces
Las soluciones se presentan con hasta 12 cifras significativas. Cuando sea necesario se utiliza notación científica para representar valores muy grandes o muy pequeños. Las raíces que requieren redondeo deben interpretarse como aproximaciones numéricas. El redondeo de presentación no determina el tipo de soluciones.
Puedes comprobar una raíz sustituyéndola en ax² + bx + c. Por ejemplo, para x = 2 en x² - 5x + 6 se obtiene 4 - 10 + 6 = 0. Al sustituir una raíz aproximada puede aparecer un pequeño residuo debido al redondeo, aunque el valor corresponda a una solución.
Ejemplos
Algunos ejemplos prácticos para entender cómo utilizar esta herramienta.
Una solución real doble
Para x² - 6x + 9 = 0, introduce a = 1, b = -6 y c = 9. El discriminante es 0.
La solución es x = 3, con multiplicidad 2.
Dos soluciones complejas
Para x² + 2x + 5 = 0, introduce a = 1, b = 2 y c = 5. El discriminante es -16.
No hay soluciones reales. Las soluciones complejas son x = -1 + 2i y x = -1 - 2i.
Una ecuación incompleta
Para 2x² - 8 = 0, introduce a = 2, b = 0 y c = -8.
Las soluciones son x = -2 y x = 2.
Preguntas frecuentes
Resolvemos algunas dudas habituales sobre esta herramienta.
Es una ecuación que puede escribirse como ax² + bx + c = 0, con a distinto de cero. Los coeficientes b y c sí pueden ser cero.
Introduce el coeficiente de x² en a, el de x en b y el término independiente en c, conservando sus signos. Para x² - 5x + 6 = 0 son 1, -5 y 6. Si falta un término, su coeficiente es 0.
Pasa todos los términos al mismo lado y agrupa los semejantes. Por ejemplo, x² + 3x = 4 se transforma en x² + 3x - 4 = 0: a = 1, b = 3 y c = -4.
Para coeficientes reales y a distinto de cero, el discriminante Δ = b² - 4ac determina el tipo de soluciones. Si es positivo, hay dos reales distintas; si es cero, una real doble; si es negativo, dos complejas conjugadas y ninguna real.
Significa que las dos raíces coinciden. Hay una sola solución real distinta, con multiplicidad 2. Por ejemplo, x² - 6x + 9 = (x - 3)² y su raíz doble es 3.
No existen soluciones reales, pero sí dos soluciones complejas conjugadas. Se expresan como u + vi y u - vi, donde i es la unidad imaginaria y cumple i² = -1.
La ecuación deja de ser de segundo grado. Si b es distinto de cero, se resuelve bx + c = 0 con x = -c/b. Si a y b son cero pero c no lo es, no hay soluciones. Si los tres son cero, cualquier valor de x satisface la igualdad.
Sí. Puedes utilizar coma o punto decimal, sin separadores de miles. Introduce únicamente el coeficiente numérico, sin expresiones, fracciones ni notación científica.
Las soluciones numéricas se muestran con hasta 12 cifras significativas. Cuando sea necesario se utiliza notación científica para no presentar valores muy pequeños como cero. El redondeo de la presentación no se utiliza para clasificar las raíces.
Última revisión:
3 de octubre de 2026